|
ریاضی یازدهم صفحه ۱۰۲ - کار در کلاس ۱
۱) با استفاده از جدول زیر، نمودار تابع با ضابطه $y=(\frac{1}{2})^{x}$ را رسم کنید.
$x$: $-3$ | $-2$ | $\dots$ | $0$ | $1$ | $\dots$ | $3$
$y=(\frac{1}{2})^{x}$: $\dots$ | $\dots$ | $\sqrt{2}$ | $1$ | $\dots$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{8}$
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه ۱۰۲ - کار در کلاس ۱
برای رسم نمودار، ابتدا باید نقاط جدول را کامل کنیم. ضابطه تابع $y=(\frac{1}{2})^{x}$ است.
**گام ۱: محاسبه مقادیر خالی:**
- اگر $x=-3$ باشد: $y=(\frac{1}{2})^{-3} = 2^{3} = 8$
- اگر $x=-2$ باشد: $y=(\frac{1}{2})^{-2} = 2^{2} = 4$
- برای مقدار $\sqrt{2}$ در جدول: میدانیم $(\frac{1}{2})^{-0.5} = 2^{0.5} = \sqrt{2}$، پس مقدار $x$ برابر $-0.5$ است.
- اگر $x=1$ باشد: $y=(\frac{1}{2})^{1} = \frac{1}{2} = 0.5$
- برای مقدار $\frac{1}{4}$ در جدول: چون $(\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}$، پس مقدار $x$ برابر $2$ است.
**گام ۲: رسم:**
نقاط به دست آمده یعنی $(-3, 8)$، $(-2, 4)$، $(-0.5, \sqrt{2})$، $(0, 1)$، $(1, 0.5)$، $(2, 0.25)$ و $(3, 0.125)$ را در دستگاه مختصات مشخص کرده و با یک منحنی نرم به هم وصل میکنیم. حاصل یک نمودار **اکیداً نزولی** خواهد بود.
ریاضی یازدهم صفحه ۱۰۲ - کار در کلاس ۲
۲) محل تقاطع نمودار این تابع با محور $y$ ها چه نقطهای است؟
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه ۱۰۲ - کار در کلاس ۲
محل تقاطع با محور عرضها جایی است که طول نقطه (مقدار $x$) برابر صفر باشد.
در ضابطه تابع $y=(\frac{1}{2})^{x}$، به جای $x$ عدد $0$ قرار میدهیم:
$y = (\frac{1}{2})^{0} = 1$
بنابراین نمودار محور $y$ ها را در نقطه **$(0, 1)$** قطع میکند. این ویژگی در تمام توابع نمایی به فرم $y=a^{x}$ مشترک است.
ریاضی یازدهم صفحه ۱۰۲ - کار در کلاس ۳
۳) دامنه و برد این تابع را بنویسید.
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه ۱۰۲ - کار در کلاس ۳
با توجه به تعریف توابع نمایی و مشاهده نمودار رسم شده:
- **دامنه ($D$):** هیچ محدودیتی برای توان وجود ندارد، پس متغیر $x$ میتواند هر مقدار حقیقی را داشته باشد: $D = \mathbb{R}$.
- **برد ($R$):** خروجی یک عدد مثبت به هر توانی، همیشه مثبت است. نمودار از بالای محور $x$ها شروع شده و به سمت آن میل میکند اما هیچوقت آن را لمس نمیکند. پس برد برابر است با بازه **$(0, +\infty)$**.
ریاضی یازدهم صفحه ۱۰۲ - کار در کلاس ۴
۴) آیا این تابع یک به یک است؟ چرا؟
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه ۱۰۲ - کار در کلاس ۴
بله، این تابع **یک به یک** است.
**دلیل آموزشی:** طبق **آزمون خط افقی**، اگر هر خطی موازی محور $x$ها رسم کنیم، نمودار تابع را حداکثر در یک نقطه قطع میکند.
همچنین از نظر مفهومی، چون این تابع **اکیداً نزولی** است (یعنی با افزایش $x$، مقدار $y$ همواره کاهش مییابد)، امکان ندارد دو مقدار متفاوت برای $x$ خروجی یکسانی برای $y$ داشته باشند.
