|
ریاضی یازدهم صفحه ۱۰۲ - فعالیت ۱
نمودار توابع با ضابطههای $y=2^{x}$ و $y=(\frac{1}{2})^{x}$ را در نظر بگیرید.
۱) نمودارهای این دو تابع نسبت به کدام محور مختصات قرینه اند؟ ...
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه ۱۰۲ - فعالیت ۱
در این فعالیت، هدف بررسی رابطه هندسی بین دو تابع نمایی است که پایههای آنها معکوس یکدیگرند. با نگاه به نمودار رسم شده در تصویر، مشاهده میکنیم که:
۱. نمودار آبی رنگ مربوط به تابع $y=2^{x}$ یک تابع **صعودی** است.
۲. نمودار صورتی رنگ مربوط به تابع $y=(\frac{1}{2})^{x}$ یک تابع **نزولی** است.
اگر به شکل دقت کنیم، هر نقطهای روی نمودار آبی وجود داشته باشد، قرینه آن نسبت به خط عمودی وسط (محور عرضها) روی نمودار صورتی قرار دارد. برای مثال، نقطه $(1, 2)$ روی نمودار آبی و نقطه $(-1, 2)$ روی نمودار صورتی قرار گرفته است.
بنابراین، نمودارهای این دو تابع نسبت به **محور $y$ (محور عرضها)** قرینه یکدیگر هستند.
ریاضی یازدهم صفحه ۱۰۲ - فعالیت ۲
۲) با جایگذاری $-x$ به جای $x$ در تابع با ضابطه $y=2^{x}$ به تابع با ضابطه $y = \dots \dots \dots$ یا همان $y = \dots \dots \dots$ دست مییابیم.
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه ۱۰۲ - فعالیت ۲
در این بخش میخواهیم رابطه هندسی بخش قبل را به زبان جبر ثابت کنیم.
گام اول: در ضابطه $y=2^{x}$، هر جا متغیر $x$ را دیدیم، آن را با $-x$ جایگزین میکنیم:
$y = 2^{-x}$
گام دوم: طبق قوانین توان، میدانیم که توان منفی پایه را معکوس میکند ($a^{-n} = (\frac{1}{a})^{n}$). پس:
$y = (\frac{1}{2})^{x}$
**نکته آموزشی:** در فصلهای قبل یاد گرفتیم که اگر در هر تابعی $f(x)$، متغیر را به $-f(x)$ تبدیل کنیم، نمودار نسبت به محور $y$ قرینه میشود. اینجا هم دقیقاً همین اتفاق افتاده است.
پاسخ جاهای خالی:
$y = 2^{-x}$ یا همان $y = (\frac{1}{2})^{x}$
ریاضی یازدهم صفحه ۱۰۲ - فعالیت ۳
۳) دامنه و برد این دو تابع چه رابطهای با هم دارند؟
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه ۱۰۲ - فعالیت ۳
برای مقایسه دامنه و برد این دو تابع نمایی، ویژگیهای هر کدام را جداگانه بررسی میکنیم:
- **دامنه:** در هر دو تابع $y=2^{x}$ و $y=(\frac{1}{2})^{x}$، متغیر $x$ میتواند هر عدد حقیقی دلخواهی باشد. پس دامنه هر دو برابر با $\mathbb{R}$ است.
- **برد:** خروجی هر دو تابع همواره اعدادی مثبت هستند و نمودارها همیشه بالای محور $x$ باقی میمانند. پس برد هر دو بازه $(0, +\infty)$ است.
**نتیجهگیری:** دامنه و برد این دو تابع با هم **برابر (یکسان)** هستند. قرینه شدن نسبت به محور عرضها، تاثیری روی بازه ورودیها و خروجیهای این توابع نگذاشته است.
ریاضی یازدهم صفحه ۱۰۲ - فعالیت ۴
۴) دو تابع نمایی دیگری که نسبت به محور $y$ ها قرینه اند، مثال بزنید.
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه ۱۰۲ - فعالیت ۴
با توجه به آنچه آموختیم، برای اینکه دو تابع نسبت به محور $y$ قرینه باشند، باید پایه یکی **معکوس** پایه دیگری باشد.
مثالهای مشابه:
۱. توابع $y=3^{x}$ و $y=(\frac{1}{3})^{x}$
۲. توابع $y=10^{x}$ و $y=0.1^{x}$ (که همان $y=(\frac{1}{10})^{x}$ است)
۳. توابع $y=(\frac{2}{5})^{x}$ و $y=(\frac{5}{2})^{x}$
به طور کلی هر دو تابعی به فرم $y=a^{x}$ و $y=(\frac{1}{a})^{x}$ این ویژگی را دارند.
