پاسخ فعالیت صفحه 101 ریاضی یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه ۱۰۱ – فعالیت ۱ این تمرین با هدف آشنایی دانش‌آموزان با رفتار **توابع نمایی با پایه بین صفر و یک** طراحی شده است. دانش‌آموز با نقطه‌یابی و تکمیل جدول، متوجه می‌شود که این توابع برخلاف پایه‌های بزرگتر از یک، رفتاری **نزولی** دارند. **گام ۱: تکمیل مقادیر جدول** با جایگذاری مقادیر $x$ در ضابطه $y = (\frac{1}{2})^x$، خروجی‌ها را محاسبه می‌کنیم: * برای $x = -3$: $y = (\frac{1}{2})^{-3} = 2^3 = 8$ * برای $x = -2$: $y = (\frac{1}{2})^{-2} = 2^2 = 4$ * برای مقدار $\sqrt{2}$: می‌دانیم $2^{1/2} = \sqrt{2}$، پس $(\frac{1}{2})^{-1/2} = \sqrt{2}$. مقدار خالی برابر با $-0/5$ یا $-\frac{1}{2}$ است. * برای $x = 1$: $y = (\frac{1}{2})^1 = \frac{1}{2} = 0/5$ * برای حاصل $\frac{1}{4}$: چون $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$، پس مقدار خالی برابر با $2$ است. **گام ۲: رسم نمودار** پس از تعیین نقاط $(-3, 8)$، $(-2, 4)$، $(-0.5, \sqrt{2})$، $(0, 1)$، $(1, 0.5)$، $(2, 0.25)$ و $(3, 0.125)$، آن‌ها را در دستگاه مختصات مشخص کرده و با یک منحنی نرم به هم وصل می‌کنیم. این نمودار از چپ به راست پایین می‌آید. **نکته آموزشی:** وقتی پایه یک تابع نمایی عددی بین صفر و یک باشد، با افزایش مقادیر $x$، مقادیر $y$ کاهش می‌یابند. این تفاوت اصلی با توابعی مثل $y = 2^x$ است. با حل این تمرین، دانش‌آموز مهارت رسم توابع نمایی نزولی را کسب کرده و آماده تحلیل ویژگی‌های دامنه و برد آن‌ها می‌شود.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه ۱۰۱ – فعالیت ۲ در این بخش، هدف درک این ویژگی است که تمام توابع نمایی ساده، صرف‌نظر از مقدار پایه، در یک نقطه مشترک با محور عرض‌ها برخورد می‌کنند. **روش حل:** برای پیدا کردن محل تقاطع با محور عرض‌ها ($y$)، کافی است مقدار $x$ را در ضابطه تابع برابر با **صفر** قرار دهیم: $$y = (\frac{1}{2})^0$$ طبق قوانین توان، هر عدد غیر صفر به توان صفر برابر با $1$ است: $$y = 1$$ بنابراین، محل تقاطع نقطه **$(0, 1)$** است. این تمرین به دانش‌آموز یادآوری می‌کند که نقطه $(0, 1)$ نقطه ثابت برخورد برای اکثر توابع نمایی پایه است و در رسم سریع نمودار کاربرد دارد.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه ۱۰۱ – فعالیت ۳ هدف این تمرین شناسایی محدودیت‌های ورودی و خروجی در توابع نمایی است. دانش‌آموز می‌آموزد که تغییر پایه (از عدد بزرگتر از یک به عدد بین صفر و یک) تغییری در دامنه و برد کلی ایجاد نمی‌کند. **بررسی دامنه:** متغیر $x$ در توان قرار دارد و هیچ محدودیتی برای پذیرش اعداد حقیقی ندارد. بنابراین: **دامنه ($D$):** تمام اعداد حقیقی یا $D = \mathbb{R}$ **بررسی برد:** خروجی تابع نمایی $( \frac{1}{2} )^x$ همیشه عددی مثبت است. هرچقدر $x$ بزرگتر شود، حاصل به صفر نزدیک می‌شود اما هرگز صفر یا منفی نمی‌شود. بنابراین: **برد ($R$):** تمام اعداد حقیقی مثبت یا $R = (0, +\infty)$ دانش‌آموز با این تمرین یاد می‌گیرد که ویژگی‌های ساختاری دامنه و برد در تمامی توابع نمایی مشابه یکدیگر است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه ۱۰۱ – فعالیت ۴ هدف این سوال بررسی ویژگی **یک‌به‌یک بودن** در توابع نمایی نزولی است تا دانش‌آموز برای درک مفهوم معکوس‌پذیری (لگاریتم) در آینده آماده شود. **پاسخ:** بله، این تابع **یک‌به‌یک** است. **دلیل:** ۱. **روش هندسی (آزمون خط افقی):** اگر هر خط افقی دلخواهی رسم کنیم، نمودار تابع را حداکثر در یک نقطه قطع می‌کند. ۲. **روش تحلیلی:** چون تابع در تمام دامنه خود **اکیداً نزولی** است، به ازای هر دو ورودی متفاوت، خروجی‌های متفاوتی تولید می‌کند. یعنی اگر $x_1 \neq x_2$ باشد، آنگاه $(\frac{1}{2})^{x_1} \neq (\frac{1}{2})^{x_2}$. این تمرین مهارت تشخیص یک‌به‌یک بودن توابع را از طریق رفتار صعودی یا نزولی بودن آن‌ها تقویت می‌کند.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه ۱۰۱ – فعالیت ۵ این تمرین بر پایه مفهوم **نزولی بودن** توابع نمایی با پایه بین صفر و یک طراحی شده است. دانش‌آموز باید یاد بگیرد که در این توابع، بزرگتر بودن توان به معنای کوچکتر بودن حاصل کل عبارت است. **تحلیل و حل:** چون پایه ($ \frac{1}{2} $) بین صفر و یک است، تابع نزولی است. یعنی جهت نامساوی بین توان‌ها در حاصل نهایی **عکس** می‌شود. * **الف:** توان‌ها را مقایسه می‌کنیم: $0/5 < 1/5$. چون تابع نزولی است، جهت عوض می‌شود: $(\frac{1}{2})^{0/5} > (\frac{1}{2})^{1/5}$ * **ب:** توان‌ها را مقایسه می‌کنیم: $\sqrt{2} \approx 1/41 < 4$. به دلیل نزولی بودن: $(\frac{1}{2})^{\sqrt{2}} > (\frac{1}{2})^4$ * **پ:** توان‌ها را مقایسه می‌کنیم: $4 > 3$. به دلیل نزولی بودن: $(\frac{1}{2})^4 < (\frac{1}{2})^3$ **اشتباه رایج:** بسیاری از دانش‌آموزان به عادتِ توابع صعودی، همیشه هر عبارتی که توان بزرگتری دارد را بزرگتر فرض می‌کنند. در حالی که در پایه‌های کسری کوچکتر از یک، ماجرا برعکس است. این تمرین مهارت مقایسه اعداد نمایی و تحلیل جهت نامساوی‌ها را در دانش‌آموز تثبیت می‌کند.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه ۱۰۱ – فعالیت ۶ هدف این فعالیت رسیدن به یک حکم کلی درباره **نامساوی‌های نمایی** در حالت پایه کوچکتر از یک است. **نتیجه‌گیری:** با توجه به نمودار که نشان‌دهنده یک تابع **اکیداً نزولی** است، اگر مقدار ورودی ($x$) کوچکتر از ورودی دیگر ($y$) باشد، خروجی مربوط به آن بزرگتر خواهد بود. بنابراین اگر $x < y$ باشد، آنگاه داریم: **$(\frac{1}{2})^x > (\frac{1}{2})^y$** این مهارت در حل نامعادله‌های نمایی که در آن پایه‌ها کسری هستند کاربرد بسیار زیادی دارد و به دانش‌آموز کمک می‌کند تا هنگام حذف پایه‌ها از طرفین نامعادله، جهت علامت را به درستی تغییر دهد.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه ۱۰۱ – فعالیت ۷ این سوال برای یادآوری و مقایسه با حالت پایه بزرگتر از یک مطرح شده است تا تفاوت رفتار دو نوع تابع نمایی در ذهن دانش‌آموز تثبیت شود. **پاسخ:** چون پایه عدد **$2$** و بزرگتر از یک است، تابع $y = 2^x$ یک تابع **اکیداً صعودی** می‌باشد. در توابع صعودی، ترتیب ورودی‌ها و خروجی‌ها یکسان است. بنابراین اگر $x > y$ باشد، آنگاه داریم: **$2^x > 2^y$** این تمرین در کنار تمرین قبلی، یک تقابل آموزشی عالی ایجاد می‌کند تا دانش‌آموز متوجه شود که **مقدار پایه** تعیین‌کننده جهت نامساوی در روابط نمایی است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه ۱۰۱ – فعالیت ۶ هدف این تمرین، اعمال عملی خاصیت **صعودی بودن** تابع $2^x$ برای مرتب‌سازی اعداد گنگ و گویا است. **گام ۱: مقایسه توان‌ها** ابتدا توان‌ها را به صورت تقریبی یا دقیق مرتب می‌کنیم: $-1 < -0/4 < 0/3 < 1/5 (3/2) < 2/23 (\sqrt{5}) < 2/5 (5/2) < 5$ **گام ۲: مرتب‌سازی اعداد نمایی** چون پایه ($2$) بزرگتر از یک است، ترتیب اعداد دقیقاً مشابه ترتیب توان‌هایشان است: **$2^{-1} < 2^{-0/4} < 2^{0/3} < 2^{3/2} < 2^{\sqrt{5}} < 2^{5/2} < 2^5$** **جمع‌بندی:** دانش‌آموز با حل این تمرین یاد می‌گیرد که برای مقایسه اعداد نمایی هم‌پایه، کافی است رفتار صعودی/نزولی پایه را بشناسد و سپس توان‌ها را مرتب کند.