حل تمرین صفحه 10 ریاضی هفتم

برای پیدا کردن تعداد کل دانش‌آموزان کلاس، ابتدا باید بفهمیم که دانش‌آموزان تماشاچی چه کسری از کل کلاس را تشکیل می‌دهند. 🏀⚽ **مرحله اول: محاسبه کسر دانش‌آموزان ورزشکار** ابتدا کسر دانش‌آموزانی که بسکتبال و فوتبال بازی می‌کنند را با هم جمع می‌کنیم: $$\frac{1}{3} + \frac{1}{4}$$ برای جمع این دو کسر، مخرج مشترک (که ۱۲ است) را پیدا می‌کنیم: $$\frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$$ بنابراین، $\frac{7}{12}$ از دانش‌آموزان کلاس ورزش می‌کنند. **مرحله دوم: محاسبه کسر دانش‌آموزان تماشاچی** بقیه دانش‌آموزان تماشاچی هستند. برای پیدا کردن کسر آنها، کسر ورزشکاران را از کل واحد (۱) کم می‌کنیم: $$۱ - \frac{7}{12} = \frac{12}{12} - \frac{7}{12} = \frac{5}{12}$$ پس، $\frac{5}{12}$ از دانش‌آموزان تماشاچی هستند. **مرحله سوم: محاسبه تعداد کل دانش‌آموزان** ما می‌دانیم که تعداد تماشاچی‌ها ۱۴ نفر است. پس $\frac{5}{12}$ از کل کلاس برابر با ۱۴ است. برای پیدا کردن تعداد کل دانش‌آموزان (x)، معادله زیر را حل می‌کنیم: $$\frac{5}{12} \times x = ۱۴ \implies x = ۱۴ \div \frac{5}{12} = ۱۴ \times \frac{12}{5} = \frac{168}{5} = ۳۳.۶$$ **نتیجه:** پاسخ به دست آمده ($۳۳.۶$) یک عدد صحیح نیست. از آنجایی که تعداد دانش‌آموزان نمی‌تواند اعشاری باشد، به احتمال زیاد در اعداد صورت مسئله اشتباهی وجود دارد. با این حال، پاسخ ریاضی دقیق مسئله **۳۳.۶** است.

برای حل این مسئله، از یک مثال عددی استفاده می‌کنیم. (توجه: عبارت اول مسئله که «مساحت مربعی به ضلع ۱۰ سانتی متر، ۱ متر مربع است» از نظر ریاضی نادرست است، زیرا مساحت این مربع $۱۰۰ \; cm^۲$ یا $۰.۰۱ \; m^۲$ می‌باشد. ما قسمت دوم سؤال را حل می‌کنیم.) فرض کنیم ضلع مربع اولیه **۱۰ سانتی‌متر** باشد. ۱. **محاسبه مساحت اولیه**: مساحت = ضلع × ضلع $$A_۱ = ۱۰ \times ۱۰ = ۱۰۰ \; cm^۲$$ ۲. **محاسبه ضلع جدید**: قرار است ضلع مربع ۱۰ درصد کم شود. ابتدا مقدار کاهش را حساب می‌کنیم: $$۱۰\% \; \text{از} \; ۱۰ = \frac{۱۰}{۱۰۰} \times ۱۰ = ۱ \; cm$$ ضلع جدید برابر است با: $۱۰ - ۱ = ۹ \; cm$ ۳. **محاسبه مساحت جدید**: $$A_۲ = ۹ \times ۹ = ۸۱ \; cm^۲$$ ۴. **محاسبه درصد کاهش مساحت**: مقدار کاهش مساحت: $A_۱ - A_۲ = ۱۰۰ - ۸۱ = ۱۹ \; cm^۲$ برای پیدا کردن درصد کاهش، مقدار کاهش را بر مساحت اولیه تقسیم کرده و در ۱۰۰ ضرب می‌کنیم: $$\text{درصد کاهش} = \frac{\text{مقدار کاهش}}{\text{مساحت اولیه}} \times ۱۰۰ = \frac{۱۹}{۱۰۰} \times ۱۰۰ = ۱۹\$$ بنابراین، اگر ضلع مربع ۱۰ درصد کم شود، مساحت آن **۱۹ درصد** کم می‌شود.

برای محاسبه مساحت زیر کشت هر محصول، درصد مربوط به آن محصول را در مساحت کل زمین ضرب می‌کنیم. 🌾 **کل مساحت زمین**: ۱۵ هکتار ۱. **مساحت زیر کشت گندم (۴۵٪)**: $$\frac{۴۵}{۱۰۰} \times ۱۵ = ۰.۴۵ \times ۱۵ = ۶.۷۵ \; \text{هکتار}$$ ۲. **مساحت زیر کشت جو (۳۷.۵٪)**: $$\frac{۳۷.۵}{۱۰۰} \times ۱۵ = ۰.۳۷۵ \times ۱۵ = ۵.۶۲۵ \; \text{هکتار}$$ ۳. **مساحت زیر کشت ذرت (۱۷.۵٪)**: $$\frac{۱۷.۵}{۱۰۰} \times ۱۵ = ۰.۱۷۵ \times ۱۵ = ۲.۶۲۵ \; \text{هکتار}$$ **نتایج:** - **گندم**: $۶.۷۵$ هکتار - **جو**: $۵.۶۲۵$ هکتار - **ذرت**: $۲.۶۲۵$ هکتار (برای بررسی درستی پاسخ: $۶.۷۵ + ۵.۶۲۵ + ۲.۶۲۵ = ۱۵$ هکتار)

برای حل این عبارت، ابتدا حاصل هر یک از پرانتزها را جداگانه محاسبه کرده و سپس الگوی ساده‌سازی را پیدا می‌کنیم. **مرحله اول: ساده کردن عبارت‌های داخل پرانتز** - $۱ - \frac{۱}{۲} = \frac{۲}{۲} - \frac{۱}{۲} = \frac{۱}{۲}$ - $۱ - \frac{۱}{۳} = \frac{۳}{۳} - \frac{۱}{۳} = \frac{۲}{۳}$ - $۱ - \frac{۱}{۴} = \frac{۴}{۴} - \frac{۱}{۴} = \frac{۳}{۴}$ - ... - $۱ - \frac{۱}{۱۰۰} = \frac{۱۰۰}{۱۰۰} - \frac{۱}{۱۰۰} = \frac{۹۹}{۱۰۰}$ **مرحله دوم: بازنویسی و ساده کردن عبارت** حالا عبارت اصلی را با مقادیر ساده شده بازنویسی می‌کنیم: $$\frac{۱}{۲} \times \frac{۲}{۳} \times \frac{۳}{۴} \times \cdots \times \frac{۹۸}{۹۹} \times \frac{۹۹}{۱۰۰}$$ همانطور که مشاهده می‌شود، صورت هر کسر با مخرج کسر بعدی خود ساده می‌شود. این روند تا انتها ادامه دارد: - عدد ۲ در صورت کسر دوم با ۲ در مخرج کسر اول خط می‌خورد. - عدد ۳ در صورت کسر سوم با ۳ در مخرج کسر دوم خط می‌خورد. - این الگو ادامه پیدا می‌کند تا عدد ۹۹ در صورت کسر آخر با ۹۹ در مخرج کسر ماقبل آخر خط بخورد. **مرحله سوم: نتیجه‌گیری** پس از این ساده‌سازی، تنها دو عدد باقی می‌ماند: - **صورت** از اولین کسر (که **۱** است). - **مخرج** از آخرین کسر (که **۱۰۰** است). بنابراین، حاصل کل عبارت برابر است با: $$\frac{۱}{۱۰۰}$$