جدول زیر را کامل کنید.
به این ترتیب مجموعهٔ زوج‌های مرتب زیر به دست می‌آید. آیا این مجموعه یک تابع را مشخص می‌کند؟
| $x$ | $y = \cos x$ | مختصات نقطه |
| :---: | :---: | :---: |
| $0$ | $1$ | $(0, 1)$ |
| $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.7$ | $\left(\frac{\pi}{4}, 0.7\right)$ |
| $\frac{\pi}{2}$ | $\dots$ | $\dots$ |
| $\frac{3\pi}{4}$ | $\dots$ | $\dots$ |
| $\pi$ | $\dots$ | $\dots$ |
$$\text{مجموعهٔ زوج‌های مرتب}: f = \left\{(0, 1), \left(\frac{\pi}{4}, 0.7\right), (\dots, \dots), (\dots, \dots), (\dots, \dots)\right\}$$
این فعالیت به رسم نمودار تابع کسینوس $y = \cos x$ در بازهٔ $[0, \pi]$ می‌پردازد.
## ۱. تکمیل جدول مقادیر
| $x$ | $y = \cos x$ | مختصات نقطه |
| :---: | :---: | :---: |
| $0$ | $1$ | $(0, 1)$ |
| $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.7$ | $\left(\frac{\pi}{4}, 0.7\right)$ |
| $\frac{\pi}{2}$ | $\mathbf{0}$ | $\left(\mathbf{\frac{\pi}{2}}, \mathbf{0}\right)$ |
| $\frac{3\pi}{4}$ | $-\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0.7$ | $\left(\mathbf{\frac{3\pi}{4}}, \mathbf{-0.7}\right)$ |
| $\pi$ | $-1$ | $(\mathbf{\pi}, \mathbf{-1})$ |
## ۲. مجموعهٔ زوج‌های مرتب
$$f = \left\{(0, 1), \left(\frac{\pi}{4}, 0.7\right), \left(\mathbf{\frac{\pi}{2}}, \mathbf{0}\right), \left(\mathbf{\frac{3\pi}{4}}, \mathbf{-0.7}\right), (\mathbf{\pi}, \mathbf{-1})\right\}$$
## ۳. تابع بودن
بله، این مجموعه یک تابع را مشخص می‌کند، زیرا **هیچ دو زوج مرتبی دارای مؤلفهٔ اول یکسان (تکراری) نیستند**.
نقاط به طول‌های $x = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}$ را به جدول بالا اضافه کنید تا شکل زیر به دست آید. ($\sqrt{3} \approx 1.7$)
| $x$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{2\pi}{3}$ | $\frac{5\pi}{6}$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $y = \cos x$ | $\dots$ | $\dots$ | $-\frac{1}{2}$ | $\dots$ |
این فعالیت نقاط میانی را برای رسم دقیق‌تر موج کسینوس در بازهٔ $[0, \pi]$ فراهم می‌کند.
## ۱. محاسبهٔ مقادیر کسینوس
| $x$ | $\frac{\pi}{6} (30^{\circ})$ | $\frac{\pi}{3} (60^{\circ})$ | $\frac{2\pi}{3} (120^{\circ})$ | $\frac{5\pi}{6} (150^{\circ})$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $\cos x$ | $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx \mathbf{0.85}$ | $\cos 60^{\circ} = \mathbf{\frac{1}{2}}$ | $\cos 120^{\circ} = -\cos 60^{\circ} = \mathbf{-\frac{1}{2}}$ | $\cos 150^{\circ} = -\cos 30^{\circ} = \mathbf{-\frac{\sqrt{3}}{2}} \approx \mathbf{-0.85}$ |
جدول زیر را کامل کنید تا نمودار تابع کسینوس در بازهٔ $[\pi, 2\pi]$ به صورت شکل مقابل به دست آید.
| $x$ | $\pi$ | $\frac{5\pi}{4}$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $\frac{7\pi}{4}$ | $2\pi$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $y = \cos x$ | $-1$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $1$ |
این فعالیت مقادیر تابع کسینوس $y = \cos x$ را در بازهٔ $[\pi, 2\pi]$ (ربع سوم و چهارم) محاسبه می‌کند.
## ۱. محاسبهٔ مقادیر کسینوس
| $x$ | $\pi (180^{\circ})$ | $\frac{5\pi}{4} (225^{\circ})$ | $\frac{3\pi}{2} (270^{\circ})$ | $\frac{7\pi}{4} (315^{\circ})$ | $2\pi (360^{\circ})$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $\cos x$ | $-1$ | $\cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = \mathbf{-\frac{\sqrt{2}}{2}}$ | $\mathbf{0}$ | $\cos(2\pi - \frac{\pi}{4}) = \mathbf{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ | $1$ |
با توجه به مراحل بالا نمودار تابع کسینوس با ضابطهٔ $y = \cos x$ در بازهٔ $[0, 2\pi]$ در شکل زیر رسم شده است. با توجه به این شکل، جدول زیر را کامل کنید.
| بازهٔ $x$ | $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ | $\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$ | $\left[\pi, \frac{3\pi}{2}\right]$ | $\left[\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right]$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| مقدار تابع کسینوس | مقدار تابع کسینوس از $1$ به $0$ **کاهش می‌یابد** | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ |
| مقدار تابع کسینوس در ربع اول مثبت است | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ |
جدول زیر وضعیت تغییرات (افزایش/کاهش) و علامت (مثبت/منفی) تابع کسینوس را در هر یک از چهار ربع دایرهٔ مثلثاتی (که با بازه‌های محوری متناظرند) نشان می‌دهد.
| بازهٔ $x$ | $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ (ربع اول) | $\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$ (ربع دوم) | $\left[\pi, \frac{3\pi}{2}\right]$ (ربع سوم) | $\left[\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right]$ (ربع چهارم) |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| **تغییرات** | از $1$ به $0$ **کاهش می‌یابد.** | **از $0$ به $-1$ کاهش می‌یابد.** | **از $-1$ به $0$ افزایش می‌یابد.** | **از $0$ به $1$ افزایش می‌یابد.** |
| **علامت** | **مثبت است.** | **منفی است.** | **منفی است.** | **مثبت است.** |
با توجه به شکل صفحهٔ قبل جاهای خالی را در خصوص ویژگی‌های تابع با ضابطهٔ $y = \cos x$ کامل کنید.
الف) دامنهٔ تابع کسینوس $\dots$ و برد آن $\dots$ است.
پ) مقدار تابع کسینوس در طول‌های $\dots$ برابر با صفر است.
ت) حداکثر مقدار تابع کسینوس $\dots$ است که در طول‌های $x = 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$, به دست می‌آید.
ث) حداقل مقدار تابع کسینوس $\dots$ است که در طول‌های $\dots$ به دست می‌آید.
تابع کسینوس $y = \cos x$ تابعی تناوبی است که نمودار آن موج‌شکل است.
## الف) دامنه و برد
$$\text{دامنهٔ تابع کسینوس}: \mathbf{\mathbb{R}} \quad \text{و برد آن}: \mathbf{[-1, 1]} \text{ است.}$$
## پ) ریشه‌ها (مقدار صفر)
تابع کسینوس در مضرب‌های فرد $\frac{\pi}{2}$ (محل تلاقی با محور $\sin$) برابر صفر است.
$$\text{مقدار تابع کسینوس در طول‌های } \mathbf{x = \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}} \text{ برابر با صفر است.}$$
## ت) حداکثر مقدار (ماکزیمم)
$$\text{حداکثر مقدار تابع کسینوس } \mathbf{1} \text{ است که در طول‌های } x = 2k\pi, k \in \mathbb{Z}, \text{ به دست می‌آید.}$$
## ث) حداقل مقدار (مینیمم)
حداقل مقدار تابع کسینوس $-1$ است.
$$\text{حداقل مقدار تابع کسینوس } \mathbf{-1} \text{ است که در طول‌های } \mathbf{x = \pi + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}} \text{ به دست می‌آید.}$$
