جواب کاردرکلاس صفحه 90 ریاضی یازدهم

برای تطبیق هر ضابطه با نمودار متناظر، باید ویژگی‌های کلیدی هر تابع را (مانند دامنه، برد، ماکزیمم/مینیمم، انتقال و فاز) تحلیل کنیم. *** ## ۱) $y = 2\sin x$ * **مقدار ماکزیمم/مینیمم (دامنه/برد)**: ضریب سینوس ($|a| = 2$) دامنهٔ تغییرات را به $[-2, 2]$ تغییر می‌دهد. (ماکزیمم $2$ و مینیمم $-2$). * **تطبیق با نمودار**: نمودار (پ) دارای ماکزیمم $2$ و مینیمم $-2$ است. $$\text{نتیجه}: y = 2\sin x \quad \longleftrightarrow \quad \text{نمودار (پ)}$$ *** ## ۲) $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$ * **تغییر فاز (انتقال افقی)**: نمودار $\sin x$ به اندازهٔ $\frac{\pi}{2}$ واحد به **راست** منتقل شده است. * **تبدیل مثلثاتی**: از رابطهٔ $\sin(\alpha - 90^{\circ}) = -\cos \alpha$ داریم: $$y = -\cos x$$ * **ویژگی‌های کلیدی $y = -\cos x$**: ماکزیمم در $x = \pi$ و مینیمم در $x = 0$ و $x = 2\pi$ دارد. در $x = 0$ مقدار آن $-1$ است. * **تطبیق با نمودار**: نمودار (الف) در $x = 0$ مقدار $-1$ دارد، در $x = \pi$ مقدار $1$ دارد و در $x = \frac{\pi}{2}$ صفر است. $$\text{نتیجه}: y = \sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) \quad \longleftrightarrow \quad \text{نمودار (الف)}$$ *** ## ۳) $y = \sin x + 1$ * **انتقال عمودی**: نمودار $\sin x$ به اندازهٔ $1$ واحد به **بالا** منتقل شده است. * **مقدار ماکزیمم/مینیمم (برد)**: دامنهٔ تغییرات $[-1+1, 1+1] = [0, 2]$. (ماکزیمم $2$ و مینیمم $0$). * **تطبیق با نمودار**: نمودار (ب) دارای ماکزیمم $2$ و مینیمم $0$ است. $$\text{نتیجه}: y = \sin x + 1 \quad \longleftrightarrow \quad \text{نمودار (ب)}$$ *** ## ۴) $y = -\sin x + 1$ * **انتقال عمودی**: $1$ واحد به **بالا**. * **قرینه شدن**: قرینه نسبت به محور $x$ (به دلیل علامت منفی). * **مقدار ماکزیمم/مینیمم (برد)**: دامنهٔ تغییرات $[-1+1, 1+1] = [0, 2]$. (ماکزیمم $2$ و مینیمم $0$). * **تطبیق با نمودار**: نمودار (ت) نیز دارای ماکزیمم $2$ و مینیمم $0$ است (مانند ب)، اما در $x=0$ مقدار آن $y = -\sin 0 + 1 = 1$ است. (نمودار ب نیز در $x=0$ مقدار $1$ دارد. اما در $x = \frac{\pi}{2}$، $y = -1 + 1 = 0$. در نمودار (ت) در $x = \frac{\pi}{2}$ مقدار $0$ است). $$\text{نتیجه}: y = -\sin x + 1 \quad \longleftrightarrow \quad \text{نمودار (ت)}$$ *** | ضابطه | نمودار | | :---: | :---: | | $y = 2\sin x$ | (پ) | | $y = \sin(x - \frac{\pi}{2}) = -\cos x$ | (الف) | | $y = \sin x + 1$ | (ب) | | $y = -\sin x + 1$ | (ت) |