حاصل هر یک از عبارت‌های زیر را به دست آورید:
الف) $\tan 135^{\circ} + \cot 120^{\circ} = \dots$
ب) $\cos (-210^{\circ}) + \cot 240^{\circ} = \dots$
پ) $\sin 63^{\circ} + \tan (-54^{\circ}) = \dots$
ت) $\cos (-72^{\circ}) + \cot (-600^{\circ}) + \tan 72^{\circ} - \tan (-600^{\circ}) = \dots$
ث) $\sin\left(-\frac{25\pi}{3}\right) - \cos\left(-\frac{23\pi}{4}\right) = \dots$
ج) $\frac{\sin \frac{3\pi}{4} - \cos \frac{5\pi}{6}}{\sin \left(-\frac{\pi}{4}\right) + \tan \left(-\frac{\pi}{3}\right)} = \dots$
از روابط کاهندهٔ زوایا و مقادیر اصلی نسبت‌های مثلثاتی استفاده می‌کنیم.
## الف) $\tan 135^{\circ} + \cot 120^{\circ}$
$$\tan 135^{\circ} = \tan(180^{\circ} - 45^{\circ}) = -\tan 45^{\circ} = -1$$
$$\cot 120^{\circ} = \cot(180^{\circ} - 60^{\circ}) = -\cot 60^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$
$$\text{حاصل} = -1 + \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \mathbf{-1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}$$
---
## ب) $\cos (-210^{\circ}) + \cot 240^{\circ}$
$$\cos (-210^{\circ}) = \cos 210^{\circ} = \cos(180^{\circ} + 30^{\circ}) = -\cos 30^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\cot 240^{\circ} = \cot(180^{\circ} + 60^{\circ}) = \cot 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
$$\text{حاصل} = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{-3\sqrt{3} + 2\sqrt{3}}{6} = \mathbf{-\frac{\sqrt{3}}{6}}$$
---
## پ) $\sin 63^{\circ} + \tan (-54^{\circ})$
$$\sin 63^{\circ} + \tan (-54^{\circ}) = \sin 63^{\circ} - \tan 54^{\circ}$$
$$\text{چون } 63^{\circ} = 90^{\circ} - 27^{\circ} \text{ و } 54^{\circ} = 90^{\circ} - 36^{\circ} \text{، ساده نمی‌شود.}$$
$$\mathbf{\text{حاصل} = \sin 63^{\circ} - \tan 54^{\circ}}$$
---
## ت) $\cos (-72^{\circ}) + \cot (-600^{\circ}) + \tan 72^{\circ} - \tan (-600^{\circ})$
$$\cos (-72^{\circ}) = \cos 72^{\circ}$$
$$\tan (-600^{\circ}) = -\tan 600^{\circ} \quad \text{و} \quad \cot (-600^{\circ}) = -\cot 600^{\circ}$$
$$\text{عبارت} = \cos 72^{\circ} - \cot 600^{\circ} + \tan 72^{\circ} - (-\tan 600^{\circ})$$
$$\text{عبارت} = \cos 72^{\circ} + \tan 72^{\circ} + \tan 600^{\circ} - \cot 600^{\circ}$$
$$\cot 600^{\circ} = \cot(2 \times 360^{\circ} - 120^{\circ}) = \cot(-120^{\circ}) = -\cot 120^{\circ} = \cot 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
$$\tan 600^{\circ} = \tan(2 \times 360^{\circ} - 120^{\circ}) = \tan(-120^{\circ}) = -\tan 120^{\circ} = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$$
$$\text{از طرفی } \cos 72^{\circ} = \sin(90^{\circ} - 72^{\circ}) = \sin 18^{\circ} \text{ و } \tan 72^{\circ} = \cot 18^{\circ}$$
$$\text{حاصل} = \cos 72^{\circ} + \tan 72^{\circ} + \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} = \mathbf{\cos 72^{\circ} + \tan 72^{\circ} + \frac{2\sqrt{3}}{3}}$$
---
## ث) $\sin\left(-\frac{25\pi}{3}\right) - \cos\left(-\frac{23\pi}{4}\right)$
$$\sin\left(-\frac{25\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{25\pi}{3}\right) = -\sin\left(8\pi + \frac{\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\cos\left(-\frac{23\pi}{4}
ight) = \cos\left(\frac{23\pi}{4}\right) = \cos\left(6\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}
ight) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\text{حاصل} = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \mathbf{-\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{2}}$$
---
## ج) $\frac{\sin \frac{3\pi}{4} - \cos \frac{5\pi}{6}}{\sin \left(-\frac{\pi}{4}\right) + \tan \left(-\frac{\pi}{3}\right)}$$
**۱. محاسبه صورت**:
$$\sin \frac{3\pi}{4} = \sin(\pi - \frac{\pi}{4}) = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\cos \frac{5\pi}{6} = \cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\cos \frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\text{صورت} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{2}$$
**۲. محاسبه مخرج**:
$$\sin \left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\sin \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\tan \left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\tan \frac{\pi}{3} = -\sqrt{3}$$
$$\text{مخرج} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{3} = \frac{-\sqrt{2} - 2\sqrt{3}}{2}$$
**۳. محاسبه حاصل نهایی**:
$$\text{حاصل} = \frac{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{2}}{\frac{-\sqrt{2} - 2\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{-(\sqrt{2} + 2\sqrt{3})}$$
$$\mathbf{\text{حاصل} = -\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{2} + 2\sqrt{3}}}$$
جدول زیر را کامل کنید:
| زاویه $x$ | $120^{\circ}$ | $135^{\circ}$ | $150^{\circ}$ | $210^{\circ}$ | $225^{\circ}$ | $240^{\circ}$ | $300^{\circ}$ | $330^{\circ}$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $\sin x$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ |
| $\cos x$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ |
| $\tan x$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ |
| $\cot x$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ |
این جدول مقادیر نسبت‌های مثلثاتی زاویه‌های اصلی را در ربع‌های دوم، سوم و چهارم نشان می‌دهد. از زاویه‌های مرجع $30^{\circ}, 45^{\circ}, 60^{\circ}$ استفاده می‌شود.
| زاویه $x$ | $120^{\circ}$ (II) | $135^{\circ}$ (II) | $150^{\circ}$ (II) | $210^{\circ}$ (III) | $225^{\circ}$ (III) | $240^{\circ}$ (III) | $300^{\circ}$ (IV) | $330^{\circ}$ (IV) |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| **$\sin x$** | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $-\frac{1}{2}$ | $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $-\frac{1}{2}$ |
| **$\cos x$** | $-\frac{1}{2}$ | $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $-\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ |
| **$\tan x$** | $-\sqrt{3}$ | $-1$ | $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | $-\sqrt{3}$ | $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ |
| **$\cot x$** | $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ | $-1$ | $-\sqrt{3}$ | $\sqrt{3}$ | $1$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ | $-\sqrt{3}$ |
بدون استفاده از ماشین حساب درستی تساوی‌های زیر را بررسی کنید:
الف) $\sin 840^{\circ} = \sin 60^{\circ}$
ب) $\cos (-324^{\circ}) = \cos 36^{\circ}$
پ) $\tan (-1000^{\circ}) = \tan 80^{\circ}$
ت) $\sin 875^{\circ} = \sin 155^{\circ}$
برای بررسی درستی تساوی‌ها، باید زاویه‌های بزرگتر یا کوچکتر از $360^{\circ}$ را به زوایای بین $0^{\circ}$ تا $360^{\circ}$ کاهش دهیم.
## الف) $\sin 840^{\circ} = \sin 60^{\circ}$
$$\sin 840^{\circ} = \sin(2 \times 360^{\circ} + 120^{\circ}) = \sin 120^{\circ}$$
$$\sin 120^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 60^{\circ}) = \sin 60^{\circ}$$
$$\text{نتیجه}: \mathbf{\text{درست}}$$
---
## ب) $\cos (-324^{\circ}) = \cos 36^{\circ}$
$$\cos (-324^{\circ}) = \cos 324^{\circ} \quad (\text{تابع زوج})$$
$$324^{\circ} = 360^{\circ} - 36^{\circ}$$
$$\cos 324^{\circ} = \cos(360^{\circ} - 36^{\circ}) = \cos 36^{\circ}$$
$$\text{نتیجه}: \mathbf{\text{درست}}$$
---
## پ) $\tan (-1000^{\circ}) = \tan 80^{\circ}$
$$\tan (-1000^{\circ}) = -\tan 1000^{\circ} \quad (\text{تابع فرد})$$
$$\tan 1000^{\circ} = \tan(2 \times 360^{\circ} + 280^{\circ}) = \tan 280^{\circ}$$
$$\tan 280^{\circ} = \tan(360^{\circ} - 80^{\circ}) = -\tan 80^{\circ}$$
$$\text{طرف چپ}: -(-\tan 80^{\circ}) = \tan 80^{\circ}$$
$$\text{نتیجه}: \mathbf{\text{درست}}$$
---
## ت) $\sin 875^{\circ} = \sin 155^{\circ}$
$$\sin 875^{\circ} = \sin(2 \times 360^{\circ} + 155^{\circ}) = \sin 155^{\circ}$$
$$\text{نتیجه}: \mathbf{\text{درست}}$$
در تساوی زیر به جای $x$ یک زاویهٔ مناسب قرار دهید:
$$\sin x = \cos (20^{\circ} + x)$$
آیا برای زاویهٔ $x$ تنها یک مقدار می‌توان یافت؟ جواب خود را با جواب دوستان خود مقایسه کنید.
از رابطهٔ زوایای متمم استفاده می‌کنیم: $\sin \alpha = \cos (90^{\circ} - \alpha)$.
بنابراین، برای برقرار بودن تساوی $\sin x = \cos (20^{\circ} + x)$، باید مجموع دو زاویهٔ مقابل متمم باشد ($90^{\circ}$) یا یکی از زاویه‌ها مضرب فردی از $90^{\circ}$ با اختلاف یا مجموعی باشد که کسینوس آن، سینوس زاویهٔ اصلی را بدهد.
**۱. شرط متمم بودن (ساده‌ترین حالت)**:
مجموع دو زاویه باید $90^{\circ}$ باشد:
$$x + (20^{\circ} + x) = 90^{\circ}$$
$$2x + 20^{\circ} = 90^{\circ}$$
$$2x = 70^{\circ}$$
$$\mathbf{x = 35^{\circ}}$$
**۲. بررسی وجود جواب‌های دیگر**:
از آنجا که توابع مثلثاتی **تناوبی** هستند، بی شمار جواب برای این معادله وجود دارد. جواب‌های عمومی به صورت زیر هستند:
$$\sin A = \cos B \Rightarrow A + B = 90^{\circ} + 360^{\circ} k \quad \text{یا} \quad A - B = 90^{\circ} + 360^{\circ} k \quad (k \in \mathbb{Z})$$
$$\text{با } A=x \text{ و } B=20^{\circ} + x:$$
* **حالت جمع**: $2x + 20^{\circ} = 90^{\circ} + 360^{\circ} k \Rightarrow x = 35^{\circ} + 180^{\circ} k$
* **حالت تفریق**: $x - (20^{\circ} + x) = -20^{\circ} = 90^{\circ} + 360^{\circ} k$ (تناقض، چون $-20^{\circ} \neq 90^{\circ} + 360^{\circ} k$)
**نتیجه**:
$$\text{آیا تنها یک مقدار می‌توان یافت؟}: \mathbf{\text{خیر.}}$$
$$\text{مقدار مناسب}: x = 35^{\circ} \text{ (ساده‌ترین جواب)}$$
$$\text{جواب‌های دیگر}: \mathbf{x = 35^{\circ} + 180^{\circ} k} \quad (\text{مثل } 215^{\circ}, -145^{\circ} \text{ و غیره})$$
