مطابق نمونه هر یک از نسبت‌های مثلثاتی زاویه‌های زیر را مشخص کنید.
$$\sin 750^{\circ} = \sin(2 \times 360^{\circ} + 30^{\circ}) = \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$$
$$\tan(-315^{\circ}) = -\tan(315^{\circ}) = -\tan(360^{\circ} - 45^{\circ}) = -(-\tan 45^{\circ}) = \tan 45^{\circ} = 1$$
۱) $\cos 300^{\circ} = \dots$
۲) $\sin 420^{\circ} = \dots$
۳) $\tan(-225^{\circ}) = \dots$
۴) $\cot(-330^{\circ}) = \dots$
این تمرینات بر اساس تبدیل زوایای بزرگتر از $360^{\circ}$ یا منفی به یک زاویه در بازهٔ $[0^{\circ}, 360^{\circ})$ و سپس استفاده از روابط نسبت کاهنده ($180^{\circ} \pm \alpha, 360^{\circ} \pm \alpha$) حل می‌شوند.
## ۱) $\cos 300^{\circ}$
زاویهٔ $300^{\circ}$ در **ربع چهارم** است ($360^{\circ} - 60^{\circ}$)، $\cos$ در ربع چهارم مثبت است.
$$\cos 300^{\circ} = \cos(360^{\circ} - 60^{\circ}) = \cos 60^{\circ} = \mathbf{\frac{1}{2}}$$
---
## ۲) $\sin 420^{\circ}$
زاویهٔ $420^{\circ}$ یک دور کامل و $60^{\circ}$ است ($360^{\circ} + 60^{\circ}$)، $\sin$ مثبت است.
$$\sin 420^{\circ} = \sin(360^{\circ} + 60^{\circ}) = \sin 60^{\circ} = \mathbf{\frac{\sqrt{3}}{2}}$$
---
## ۳) $\tan(-225^{\circ})$
* **گام ۱ (حذف منفی)**: $\tan(-\alpha) = -\tan \alpha$.
$$\tan(-225^{\circ}) = -\tan(225^{\circ})$$
* **گام ۲ (نسبت کاهنده)**: $225^{\circ}$ در **ربع سوم** است ($180^{\circ} + 45^{\circ}$)، $\tan$ در ربع سوم مثبت است.
$$-\tan(225^{\circ}) = -\tan(180^{\circ} + 45^{\circ}) = -(\tan 45^{\circ}) = \mathbf{-1}$$
---
## ۴) $\cot(-330^{\circ})$
* **گام ۱ (حذف منفی و تبدیل به زاویهٔ مثبت)**: $\cot(-\alpha) = -\cot \alpha$.
$$\cot(-330^{\circ}) = -\cot(330^{\circ})$$
* **گام ۲ (نسبت کاهنده)**: $330^{\circ}$ در **ربع چهارم** است ($360^{\circ} - 30^{\circ}$)، $\cot$ در ربع چهارم منفی است.
$$-\cot(330^{\circ}) = -\cot(360^{\circ} - 30^{\circ}) = -(-\cot 30^{\circ}) = \cot 30^{\circ} = \mathbf{\sqrt{3}}$$
*(همچنین، $-330^{\circ}$ معادل $30^{\circ}$ است و $\cot 30^{\circ} = \sqrt{3}$.)*
۵) $\sin\left(\frac{11\pi}{4}\right) = \dots$
۶) $\cos\left(-\frac{7\pi}{4}\right) = \dots$
## ۵) $\sin\left(\frac{11\pi}{4}\right)$
**۱. حذف دور کامل**: $\frac{11\pi}{4}$ از $2\pi = \frac{8\pi}{4}$ بزرگتر است.
$$\frac{11\pi}{4} = \frac{8\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = 2\pi + \frac{3\pi}{4}$$
$$\sin\left(\frac{11\pi}{4}\right) = \sin\left(2\pi + \frac{3\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)$$
**۲. نسبت کاهنده**: $\frac{3\pi}{4}$ در **ربع دوم** است ($\pi - \frac{\pi}{4}$)، $\sin$ در ربع دوم مثبت است.
$$\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}
ight) = \mathbf{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$
---
## ۶) $\cos\left(-\frac{7\pi}{4}\right)$
**۱. حذف منفی**: $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$.
$$\cos\left(-\frac{7\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{7\pi}{4}\right)$$
**۲. نسبت کاهنده**: $\frac{7\pi}{4}$ در **ربع چهارم** است ($2\pi - \frac{\pi}{4}$)، $\cos$ در ربع چهارم مثبت است.
$$\cos\left(\frac{7\pi}{4}\right) = \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}
ight) = \mathbf{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$
*(همچنین، $-\frac{7\pi}{4}$ معادل $\frac{\pi}{4}$ است.)*
