سایر نسبت‌های مثلثاتی زاویهٔ $-\frac{\pi}{4} \text{ رادیان}$ را مطابق نمونه به دست آورید.
$$\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)$$
زاویهٔ $-\frac{\pi}{4}$ (معادل $-45^{\circ}$) در ربع چهارم دایرهٔ مثلثاتی قرار دارد. از روابط زوجیت و فردیت توابع مثلثاتی استفاده می‌کنیم:
**۱. سینوس ($\sin$)** (تابع فرد):
$$\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$
**۲. کسینوس ($\cos$)** (تابع زوج):
$$\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
**۳. تانژانت ($\tan$)** (تابع فرد):
$$\tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = -1$$
**۴. کتانژانت ($\cot$)** (تابع فرد):
$$\cot\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\cot\left(\frac{\pi}{4}\right) = -1$$
حاصل هر یک از عبارت‌های زیر را مطابق نمونه به دست آورید.
$$\cot\left(-\frac{\pi}{3}\right) \times \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + \tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\cot\left(\frac{\pi}{3}\right) \times \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) - \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 = -\frac{3}{6} - 1 = -\frac{1}{2} - 1 = -\frac{3}{2}$$
الف) $\frac{\cos(-90^{\circ}) + \sin(-270^{\circ})}{\sin(-180^{\circ}) - \cos(-360^{\circ})} = \frac{\dots}{\dots} = \dots$
ب) $\cot\left(-\frac{\pi}{6}\right) + \tan\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \dots$
پ) $\cos(-45^{\circ}) \times \cos(-60^{\circ}) + \sin(-45^{\circ}) \times \sin(-60^{\circ}) = \dots + \dots = \dots$
## الف) $\frac{\cos(-90^{\circ}) + \sin(-270^{\circ})}{\sin(-180^{\circ}) - \cos(-360^{\circ})}$
**۱. استفاده از روابط زوجیت/فردیت**:
$$\frac{\cos(90^{\circ}) - \sin(270^{\circ})}{-\sin(180^{\circ}) - \cos(360^{\circ})}$$
**۲. جایگذاری مقادیر اصلی**:
* $\cos(90^{\circ}) = 0$
* $\sin(270^{\circ}) = -1$
* $\sin(180^{\circ}) = 0$
* $\cos(360^{\circ}) = 1$
**۳. محاسبهٔ عبارت**:
$$\frac{0 - (-1)}{-0 - 1} = \frac{1}{-1} = -1$$
$$\text{حاصل عبارت}: \mathbf{-1}$$
---
## ب) $\cot\left(-\frac{\pi}{6}\right) + \tan\left(-\frac{\pi}{3}\right)$
**۱. استفاده از روابط فردیت**:
$$-\cot\left(\frac{\pi}{6}
ight) - \tan\left(\frac{\pi}{3}
ight)$$
**۲. جایگذاری مقادیر**:
* $\cot\left(\frac{\pi}{6}\right) = \cot(30^{\circ}) = \sqrt{3}$
* $\tan\left(\frac{\pi}{3}
ight) = \tan(60^{\circ}) = \sqrt{3}$
**۳. محاسبهٔ عبارت**:
$$-\sqrt{3} - \sqrt{3} = -2\sqrt{3}$$
$$\text{حاصل عبارت}: \mathbf{-2\sqrt{3}}$$
---
## پ) $\cos(-45^{\circ}) \times \cos(-60^{\circ}) + \sin(-45^{\circ}) \times \sin(-60^{\circ})$
**۱. استفاده از روابط زوجیت/فردیت**:
$$ \left(\cos(45^{\circ}) \times \cos(60^{\circ})\right) + \left((-\sin(45^{\circ})) \times (-\sin(60^{\circ}))\right) $$
$$ \cos(45^{\circ}) \cos(60^{\circ}) + \sin(45^{\circ}) \sin(60^{\circ}) $$
*(توجه: این عبارت، همان بسط $\cos(A - B)$ است: $\cos(60^{\circ} - 45^{\circ}) = \cos(15^{\circ})$)*
**۲. جایگذاری مقادیر**:
* $\cos(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
* $\cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$
* $\sin(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
* $\sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
**۳. محاسبهٔ عبارت**:
$$\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$$
$$\text{حاصل عبارت}: \mathbf{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}}$$ (که برابر $\cos(15^{\circ})$ است.)
