پاسخ فعالیت صفحه 77 ریاضی یازدهم

این جدول‌ها به بررسی علامت نسبت‌های مثلثاتی ($\sin \alpha, \cos \alpha, \tan \alpha, \cot \alpha$) در ربع‌های مختلف دایرهٔ مثلثاتی می‌پردازد. | زاویه $\alpha$ | انتهای کمان روبه‌روی $\alpha$ | علامت نسبت مثلثاتی | | :---: | :---: | :---: | | $75^{\circ}$ | ربع اول | $\tan \alpha \mathbf{>} 0$ (مثبت) | | $15^{\circ}$ | ربع اول | $\sin \alpha \mathbf{>} 0$ (مثبت) | | $21^{\circ}$ | ربع اول | $\cos \alpha \mathbf{>} 0$ (مثبت) | | $24^{\circ}$ | ربع اول | $\cot \alpha \mathbf{>} 0$ (مثبت) | | $285^{\circ}$ | ربع چهارم (بین $270^{\circ}$ و $360^{\circ}$) | $\tan \alpha \mathbf{<} 0$ (منفی) | --- | زاویه $\alpha$ | انتهای کمان روبه‌روی $\alpha$ | علامت نسبت مثلثاتی | | :---: | :---: | :---: | | $\frac{3\pi}{4} \text{ رادیان}$ ($135^{\circ}$) | ربع دوم | $\cos \alpha \mathbf{<} 0$ (منفی) | | $\frac{4\pi}{5} \text{ رادیان}$ ($144^{\circ}$) | ربع دوم | $\sin \alpha \mathbf{>} 0$ (مثبت) | | $\frac{5\pi}{3} \text{ رادیان}$ ($300^{\circ}$) | ربع چهارم | $\tan \alpha \mathbf{<} 0$ (منفی) | | $\frac{5\pi}{12} \text{ رادیان}$ ($75^{\circ}$) | ربع اول | $\cos \alpha \mathbf{>} 0$ (مثبت) | | $\frac{5\pi}{6} \text{ رادیان}$ ($150^{\circ}$) | ربع دوم | $\cot \alpha \mathbf{<} 0$ (منفی) |

داده‌ها: $\sin \alpha = -\frac{1}{3}$ و $\alpha$ در ربع سوم است. **در ربع سوم**: $\sin \alpha < 0$ (درست)، $\cos \alpha < 0$، $\tan \alpha > 0$ و $\cot \alpha > 0$. ## ۱. محاسبهٔ $\cos \alpha$ از رابطهٔ فیثاغورسی $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ استفاده می‌کنیم: $$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left( -\frac{1}{3} \right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$$ چون $\alpha$ در ربع سوم است، $\cos \alpha < 0$: $$\cos \alpha = -\sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{-\mathbf{\sqrt{8}}}{3} = \frac{-\mathbf{2\sqrt{2}}}{3}$$ ## ۲. محاسبهٔ $\tan \alpha$ $$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-1/3}{-2\sqrt{2}/3} = \frac{-1/3}{-2\sqrt{2}/3} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$$ برای گویا کردن مخرج (اختیاری): $\tan \alpha = \frac{1}{2\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$ $$\tan \alpha = \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2\sqrt{2}}} \quad \text{یا } \quad \frac{\mathbf{\sqrt{2}}}{\mathbf{4}}$$ ## ۳. محاسبهٔ $\cot \alpha$ $$\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{1}{1/(2\sqrt{2})} = 2\sqrt{2}$$ $$\cot \alpha = \mathbf{2\sqrt{2}}$$

داده‌ها: $\cot \alpha = -2$ و $\cos \alpha > 0$. **۱. تعیین ربع دایره** * $\cot \alpha < 0$: زاویه در ربع دوم یا چهارم است. * $\cos \alpha > 0$: زاویه در ربع اول یا چهارم است. $$\text{اشتراک دو شرط}: \text{زاویه در **ربع چهارم** است.}$$ **در ربع چهارم**: $\sin \alpha < 0$ و $\tan \alpha < 0$. $$\text{کامل شده}: \text{چون } \cot \alpha < 0 \text{ و } \cos \alpha > 0 \text{، لذا انتهای کمان } \alpha \text{ در ربع } \mathbf{\text{چهارم}} \text{ واقع است.}$$ ## ۲. محاسبهٔ $\sin \alpha$ و $\sin^2 \alpha$ از رابطهٔ $1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$ استفاده می‌کنیم: $$\frac{1}{\sin^2 \alpha} = 1 + (-2)^2 = 1 + 4 = \mathbf{5}$$ $$\sin^2 \alpha = \frac{1}{5}$$ چون $\alpha$ در ربع چهارم است، $\sin \alpha < 0$: $$\sin \alpha = -\sqrt{\frac{1}{5}} = -\frac{1}{\sqrt{5}} \quad \text{یا } -\frac{\sqrt{5}}{5}$$ $$\sin \alpha = \mathbf{-\frac{\sqrt{5}}{5}}$$ ## ۳. محاسبهٔ $\cos \alpha$ و $\cos^2 \alpha$ از رابطهٔ فیثاغورسی استفاده می‌کنیم: $$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \frac{1}{5} = \mathbf{\frac{4}{5}}$$ چون $\alpha$ در ربع چهارم است، $\cos \alpha > 0$: $$\cos \alpha = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \quad \text{یا } \frac{2\sqrt{5}}{5}$$ $$\cos \alpha = \mathbf{\frac{2\sqrt{5}}{5}}$$ ## ۴. محاسبهٔ $\tan \alpha$ از رابطهٔ $\tan \alpha = \frac{1}{\cot \alpha}$ استفاده می‌کنیم: $$\tan \alpha = \frac{1}{-2} = \mathbf{-\frac{1}{2}}$$