حل تمرین صفحه 76 ریاضی یازدهم سوال 1

برای تبدیل زاویه از درجه ($D$) به رادیان ($R$)، از رابطهٔ $R = D \times \frac{\pi}{180^{\circ}}$ استفاده می‌کنیم. ## ۱. تبدیل به رادیان | درجه ($D$) | محاسبه | رادیان ($R$) | | :---: | :---: | :---: | | $12^{\circ}$ | $12 \times \frac{\pi}{180}$ | $\mathbf{\frac{\pi}{15}}$ | | $-36^{\circ}$ | $-36 \times \frac{\pi}{180}$ | $\mathbf{-\frac{\pi}{5}}$ | | $72^{\circ}$ | $72 \times \frac{\pi}{180}$ | $\mathbf{\frac{2\pi}{5}}$ | | $-105^{\circ}$ | $-105 \times \frac{\pi}{180}$ | $\mathbf{-\frac{7\pi}{12}}$ | | $315^{\circ}$ | $315 \times \frac{\pi}{180}$ | $\mathbf{\frac{7\pi}{4}}$ | ## ۲. نمایش روی دایرهٔ مثلثاتی **نکته**: برای زاویه‌های منفی، حرکت در جهت ساعتگرد است. * $\mathbf{\frac{\pi}{15}}$: زاویهٔ مثبت کوچک در ربع اول ($12^{\circ}$). * $\mathbf{-\frac{\pi}{5}}$: زاویهٔ منفی در ربع چهارم ($-36^{\circ}$). * $\mathbf{\frac{2\pi}{5}}$: زاویهٔ مثبت در ربع اول ($72^{\circ}$). * $\mathbf{-\frac{7\pi}{12}}$: زاویهٔ منفی در ربع سوم ($-105^{\circ}$). * $\mathbf{\frac{7\pi}{4}}$: زاویهٔ مثبت در ربع چهارم ($315^{\circ}$).

برای تبدیل زاویه از رادیان ($R$) به درجه ($D$)، از ضریب تبدیل $\frac{180^{\circ}}{\pi \text{ رادیان}}$ استفاده می‌کنیم: $$D = R \times \frac{180}{\pi}$$ ## ۱. تبدیل به درجه | رادیان ($R$) | محاسبه | درجه ($D$) | ربع دایره | | :---: | :---: | :---: | :---: | | $\frac{7\pi}{18}$ | $\frac{7\pi}{18} \times \frac{180}{\pi}$ | $\mathbf{70^{\circ}}$ | اول | | $-\frac{\pi}{5}$ | $-\frac{\pi}{5} \times \frac{180}{\pi}$ | $\mathbf{-36^{\circ}}$ | چهارم | | $\frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$ | $\frac{\pi}{2} \times \frac{180}{\pi}$ | $\mathbf{90^{\circ}}$ | بین اول و دوم | | $\frac{7\pi}{8}$ | $\frac{7\pi}{8} \times \frac{180}{\pi}$ | $\mathbf{157.5^{\circ}}$ | دوم | | $\frac{6\pi}{5}$ | $\frac{6\pi}{5} \times \frac{180}{\pi}$ | $\mathbf{216^{\circ}}$ | سوم | | $-\frac{2\pi}{5}$ | $-\frac{2\pi}{5} \times \frac{180}{\pi}$ | $\mathbf{-72^{\circ}}$ | چهارم | ## ۲. نمایش روی دایرهٔ مثلثاتی

برای تبدیل رادیان ($R = \frac{\pi}{30}$) به درجه ($D$)، از رابطهٔ $D = R \times \frac{180^{\circ}}{\pi}$ استفاده می‌کنیم. $$D = \frac{\pi}{30} \times \frac{180^{\circ}}{\pi}$$ $$\pi \text{ها با هم حذف می‌شوند و } 180 \text{ بر } 30 \text{ تقسیم می‌شود:}$$ $$D = \frac{180^{\circ}}{30} = 6^{\circ}$$ $$\text{اندازهٔ زاویه}: \mathbf{6^{\circ}}$$

اندازهٔ زاویهٔ مرکزی ($\alpha$) بر حسب رادیان از رابطهٔ $\alpha = \frac{L}{r}$ به دست می‌آید، که در آن $L$ طول کمان و $r$ شعاع است. واحد $L$ و $r$ باید یکسان باشد. * $\text{طول کمان}: L = 8 \text{ سانتی‌متر}$ * $\text{شعاع}: r = 10 \text{ سانتی‌متر}$ $$\alpha = \frac{8 \text{ سانتی‌متر}}{10 \text{ سانتی‌متر}} = 0.8 \text{ رادیان}$$ $$\text{اندازهٔ زاویه}: \mathbf{0.8 \text{ رادیان}}$$

## الف) مثلث متساوی‌الساقین با زاویهٔ $1 \text{ رادیان}$ * **بررسی**: $1 \text{ رادیان} \approx 57.3^{\circ}$. زاویهٔ بین دو ساق $A = 57.3^{\circ}$ است. * **زاویه‌های قاعده**: $B = C = \frac{180^{\circ} - 57.3^{\circ}}{2} = 61.35^{\circ}$. * **قانون سینوس‌ها**: ضلع مقابل زاویهٔ کوچک‌تر، کوچک‌تر است. * چون $\angle A \approx 57.3^{\circ}$ کوچک‌ترین زاویه است، ضلع مقابل آن (قاعده) **کوچک‌ترین** ضلع مثلث است. $$\text{نتیجه}: \mathbf{\text{درست}}$$ --- ## ب) طول کمان با زاویهٔ $\pi \text{ رادیان}$ * **رابطه**: $L = r \alpha$. * **مقادیر**: $r = 1 \text{ cm}, \alpha = \pi$. * **محاسبه**: $L = 1 \times \pi = \pi \text{ cm}$. * **مقدار عددی**: $L \approx 3.14 \text{ cm}$. $$\text{نتیجه}: \mathbf{\text{درست}}$$ --- ## پ) موقعیت زاویهٔ $\frac{6\pi}{5} \text{ رادیان}$ * **تبدیل به درجه**: $D = \frac{6\pi}{5} \times \frac{180}{\pi} = 6 \times 36 = 216^{\circ}$. * **ربع دایره**: $216^{\circ}$ بین $180^{\circ}$ (محور $x$ منفی) و $270^{\circ}$ (محور $y$ منفی) قرار دارد. $$\text{نتیجه}: \mathbf{\text{نادرست}} \quad (\text{زاویه در ربع **سوم** است.})$$ --- ## ت) زوایای یک مثلث * **شرط**: مجموع زوایای یک مثلث باید برابر با $\pi \text{ رادیان}$ ($180^{\circ}$) باشد. * **محاسبهٔ مجموع زوایا**: $$\text{مجموع} = \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{9} + \frac{\sqrt{7}\pi}{36}$$ * **تبدیل به مخرج مشترک $36$**: $$\text{مجموع} = \frac{24\pi}{36} + \frac{4\pi}{36} + \frac{\sqrt{7}\pi}{36} = \frac{(28 + \sqrt{7})\pi}{36}$$ * **مقایسه با $\pi$**: $\frac{28 + \sqrt{7}}{36}$ تقریباً برابر با $\frac{28 + 2.64}{36} \approx 0.85$ است، که **کوچک‌تر** از $1$ است. $$\text{نتیجه}: \mathbf{\text{نادرست}} \quad (\text{مجموع این زاویه‌ها برابر } \pi \text{ نیست.})$$