ایستگاه فضایی بین‌المللی را مطابق شکل مقابل در نظر بگیرید که در فاصلهٔ تقریبی $400 \text{ کیلومتری}$ بالای سطح کرهٔ زمین قرار دارد. اگر این ایستگاه توسط ایستگاه زمینی از نقطهٔ $A$ تا نقطهٔ $B$ که با مرکز زمین زاویهٔ $45^{\circ}$ می‌سازند، رصد شود، این ایستگاه چه مسافتی را در مدار خود از $A'$ به $B'$ پوشش می‌دهد؟ شعاع تقریبی کرهٔ زمین را $6400 \text{ کیلومتر}$ فرض کنید.
(۱) ابتدا زاویهٔ مرکزی $45^{\circ}$ را به رادیان تبدیل کنید.
$$\alpha = 45^{\circ} \times \dots = \frac{\pi}{4} \text{ رادیان}$$
(۲) شعاع مدار دایره‌ای شکل که ایستگاه فضایی روی آن قرار دارد، برابر است با: $r = \dots$
(۳) طول کمان روبه‌روی زاویهٔ $\widehat{A'OB'}$ با فرض $\alpha = \frac{L}{r}$ و با استفاده از $\pi \approx 3.14$ به طور تقریبی برابر است با: $L = \text{طول کمان } A'B' = \frac{\pi}{4} \times \dots \approx 5338 \text{ km}$
## ۱. تبدیل زاویه به رادیان
$$45^{\circ} \times \frac{\pi}{180^{\circ}} = \mathbf{\frac{\pi}{4} \text{ رادیان}}$$
$$\alpha = 45^{\circ} \times \mathbf{\frac{\pi}{180^{\circ}}} = \frac{\pi}{4} \text{ رادیان}$$
---
## ۲. محاسبهٔ شعاع مدار ایستگاه فضایی
شعاع مدار ($r$) ایستگاه فضایی برابر است با شعاع زمین ($R_{\text{زمین}}$) به علاوهٔ ارتفاع ایستگاه از سطح زمین ($h$):
$$r = R_{\text{زمین}} + h = 6400 \text{ km} + 400 \text{ km} = 6800 \text{ km}$$
$$\mathbf{r = 6800 \text{ km}}$$
---
## ۳. محاسبهٔ طول کمان در مدار
طول کمان ($L$) در مدار ایستگاه فضایی از رابطهٔ $L = r \alpha$ (که در آن $\alpha$ بر حسب رادیان است) به دست می‌آید.
$$L = r \alpha = 6800 \times \frac{\pi}{4}$$
با ساده‌سازی $6800$ بر $4$: $1700$.
$$L = 1700 \pi \text{ km}$$
با فرض $\pi \approx 3.14$:
$$L \approx 1700 \times 3.14 = 5338 \text{ km}$$
$$\text{طول کمان } L = \frac{\pi}{4} \times \mathbf{6800 \text{ km}} \approx 5338 \text{ km}$$
$$\text{مسافت پوشش داده شده}: \mathbf{5338 \text{ کیلومتر}}$$
