مطابق نمونه هر یک از زاویه‌ها را از درجه به رادیان تبدیل کنید:
$$30^{\circ} \longrightarrow 30^{\circ} \times \frac{\pi \text{ رادیان}}{180^{\circ}} = \frac{\pi}{6} \text{ رادیان}$$
$$36^{\circ} \longrightarrow \dots$$
$$45^{\circ} \longrightarrow \dots$$
$$60^{\circ} \longrightarrow \dots$$
$$90^{\circ} \longrightarrow \dots$$
$$180^{\circ} \longrightarrow \dots$$
برای تبدیل زاویه از درجه ($D$) به رادیان ($R$) از ضریب تبدیل $\frac{\pi \text{ رادیان}}{180^{\circ}}$ استفاده می‌کنیم:
$$R = D \times \frac{\pi}{180}$$
* **تبدیل $36^{\circ}$**:
$$36^{\circ} \times \frac{\pi}{180^{\circ}} = \frac{\pi}{5} \text{ رادیان}$$
* **تبدیل $45^{\circ}$**:
$$45^{\circ} \times \frac{\pi}{180^{\circ}} = \frac{\pi}{4} \text{ رادیان}$$
* **تبدیل $60^{\circ}$**:
$$60^{\circ} \times \frac{\pi}{180^{\circ}} = \frac{\pi}{3} \text{ رادیان}$$
* **تبدیل $90^{\circ}$**:
$$90^{\circ} \times \frac{\pi}{180^{\circ}} = \frac{\pi}{2} \text{ رادیان}$$
* **تبدیل $180^{\circ}$**:
$$180^{\circ} \times \frac{\pi}{180^{\circ}} = \pi \text{ رادیان}$$
اگر $D$ اندازهٔ زاویهٔ $\alpha$ بر حسب درجه و $R$ اندازهٔ زاویهٔ $\alpha$ بر حسب رادیان باشد، آنگاه:
$$\frac{D}{180^{\circ}} = \frac{R}{\pi \text{ رادیان}}$$
حال جدول زیر را با استفاده از این رابطه کامل کنید:
| $D \text{ (درجه)}$ | $5^{\circ}$ | $\dots$ | $24^{\circ}$ | $\dots$ | $120^{\circ}$ | $\dots$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $R \text{ (رادیان)}$ | $\frac{\pi}{36}$ | $\frac{\pi}{v}$ | $\dots$ | $\frac{2\pi}{5}$ | $\dots$ | $\frac{5\pi}{4}$ |
از رابطهٔ $\frac{D}{180} = \frac{R}{\pi}$ برای تبدیل درجه به رادیان و بالعکس استفاده می‌کنیم.
## ۱. ستون دوم (تبدیل رادیان به درجه)
$$\text{داده}: R = \frac{\pi}{7}$$
$$\frac{D}{180} = \frac{\frac{\pi}{7}}{\pi} = \frac{1}{7} \Rightarrow D = \frac{180}{7} \approx 25.71^{\circ}$$
$$\mathbf{D = \frac{180}{7}^{\circ}}$$
## ۲. ستون سوم (تبدیل درجه به رادیان)
$$\text{داده}: D = 24^{\circ}$$
$$\frac{24}{180} = \frac{R}{\pi} \Rightarrow R = \frac{24\pi}{180} = \frac{2\pi}{15}$$
$$\mathbf{R = \frac{2\pi}{15} \text{ رادیان}}$$
## ۳. ستون چهارم (تبدیل رادیان به درجه)
$$\text{داده}: R = \frac{2\pi}{5}$$
$$\frac{D}{180} = \frac{\frac{2\pi}{5}}{\pi} = \frac{2}{5} \Rightarrow D = 180 \times \frac{2}{5} = 36 \times 2 = 72^{\circ}$$
$$\mathbf{D = 72^{\circ}}$$
## ۴. ستون پنجم (تبدیل درجه به رادیان)
$$\text{داده}: D = 120^{\circ}$$
$$\frac{120}{180} = \frac{R}{\pi} \Rightarrow R = \frac{120\pi}{180} = \frac{2\pi}{3}$$
$$\mathbf{R = \frac{2\pi}{3} \text{ رادیان}}$$
## ۵. ستون ششم (تبدیل رادیان به درجه)
$$\text{داده}: R = \frac{5\pi}{4}$$
$$\frac{D}{180} = \frac{\frac{5\pi}{4}}{\pi} = \frac{5}{4} \Rightarrow D = 180 \times \frac{5}{4} = 45 \times 5 = 225^{\circ}$$
$$\mathbf{D = 225^{\circ}}$$
| $D \text{ (درجه)}$ | $5^{\circ}$ | $\mathbf{\frac{180}{7}^{\circ}}$ | $24^{\circ}$ | $\mathbf{72^{\circ}}$ | $120^{\circ}$ | $\mathbf{225^{\circ}}$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $R \text{ (رادیان)}$ | $\frac{\pi}{36}$ | $\frac{\pi}{7}$ | $\mathbf{\frac{2\pi}{15}}$ | $\frac{2\pi}{5}$ | $\mathbf{\frac{2\pi}{3}}$ | $\frac{5\pi}{4}$ |
در شکل زیر در هر یک از جاهای خالی زاویهٔ مناسب را بر حسب رادیان مشخص کنید.
زاویه‌های اصلی در نمودار بر اساس تقسیم‌بندی دایره به قطعات مساوی و همچنین نقاط انتهایی محورهای مختصات مشخص می‌شوند.
| زاویه | توصیف | مقدار رادیان |
| :---: | :---: | :---: |
| **شروع** | محور $x$ مثبت | $\mathbf{0 \text{ رادیان}}$ |
| **اولین ربع** | بین $\frac{\pi}{3}$ و $0$ (معادل $30^{\circ}$) | $\mathbf{\frac{\pi}{6} \text{ رادیان}}$ |
| **دومین ربع** | بین $\frac{\pi}{2}$ و $\frac{3\pi}{4}$ (معادل $120^{\circ}$) | $\mathbf{\frac{2\pi}{3} \text{ رادیان}}$ |
| **سومین ربع** | بین $\pi$ و $\frac{3\pi}{2}$ (معادل $210^{\circ}$) | $\mathbf{\frac{7\pi}{6} \text{ رادیان}}$ |
| **چهارمین ربع** | بین $\frac{3\pi}{2}$ و $2\pi$ (معادل $330^{\circ}$) | $\mathbf{\frac{11\pi}{6} \text{ رادیان}}$ |
| **پایان کامل** | دور کامل (روی $0$) | $\mathbf{2\pi \text{ رادیان}}$ |
$$\text{زاویه‌های اصلی بر حسب رادیان عبارتند از}: \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{6}, \pi, \frac{7\pi}{6}, \frac{5\pi}{4}, \frac{4\pi}{3}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{4}, \frac{11\pi}{6}, 2\pi$$
