با استفاده از رابطهٔ بالا جدول زیر را کامل کنید:
$$\alpha = \frac{L}{r} \quad \text{ (طول کمان } L \text{، شعاع } r \text{، زاویه بر حسب رادیان } \alpha \text{)}$$
| $L$ | $500 \text{ سانتی‌متر}$ | $\dots$ | $300 \text{ سانتی‌متر}$ | $\dots$ | $90 \text{ متر}$ | $50 \text{ متر}$ | $\dots$ | $10 \text{ متر}$ | $\dots$ | $20 \text{ سانتی‌متر}$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $r$ | $5 \text{ متر}$ | $5 \text{ متر}$ | $1 \text{ متر}$ | $0.5 \text{ متر}$ | $3 \text{ رادیان}$ | $10 \text{ متر}$ | $10 \text{ رادیان}$ | $2 \text{ رادیان}$ | $\dots$ | $2 \text{ رادیان}$ |
| $\alpha$ | $\dots$ | $1 \text{ رادیان}$ | $\dots$ | $1/5 \text{ رادیان}$ | $\dots$ | $10 \text{ رادیان}$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ |
از رابطهٔ اصلی زاویه بر حسب رادیان استفاده می‌کنیم: $\mathbf{\alpha = \frac{L}{r}}$. همچنین روابط مشتق شده از آن: $\mathbf{L = \alpha r}$ و $\mathbf{r = \frac{L}{\alpha}}$
**نکتهٔ مهم**: برای محاسبهٔ $\alpha$، باید واحد $L$ و $r$ **یکسـان** باشد.
| $L$ | $r$ | $\alpha = \frac{L}{r}$ | $\text{محاسبات}$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| $500 \text{ cm} (5 \text{ m})$ | $5 \text{ m}$ | $\mathbf{100 \text{ رادیان}}$ | $\frac{500}{5}$ (اگر $r$ را به $\text{cm}$ تبدیل کنیم) یا $\frac{5}{5} = 1$ (اگر واحد را یکسان کنیم) - **با فرض یکسان بودن واحد: $\frac{500}{500} = 1$** |
| $\mathbf{5 \text{ m}}$ | $5 \text{ m}$ | $1 \text{ رادیان}$ | $L = \alpha r \Rightarrow L = 1 \times 5$ |
| $300 \text{ cm} (3 \text{ m})$ | $1 \text{ m}$ | $\mathbf{3 \text{ رادیان}}$ | $\frac{300 \text{ cm}}{100 \text{ cm}} = 3$ |
| $\mathbf{0.75 \text{ m}}$ | $0.5 \text{ m}$ | $1.5 \text{ رادیان}$ | $\alpha = 1.5$ (که در سطر داده شده $1/5$ است، بنابراین $\alpha = 1.5$ فرض می‌کنیم) $\Rightarrow L = 1.5 \times 0.5 = 0.75$ |
| $\mathbf{9 \text{ m}}$ | $3 \text{ m}$ | $3 \text{ رادیان}$ | $L = \alpha r \Rightarrow 90 \text{ m}$ اگر $\alpha=3$ و $r=30$ نباشد. اگر $L=90 \text{ m}$ و $r=3 \text{ m}$ باشد $\alpha=30$. **با فرض $L=9 \text{ m}$ و $\alpha=3 \text{ rad} \Rightarrow r=3 \text{ m}$** |
| $50 \text{ m}$ | $\mathbf{5 \text{ m}}$ | $10 \text{ رادیان}$ | $r = \frac{L}{\alpha} = \frac{50}{10} = 5$ |
| $\mathbf{20 \text{ m}}$ | $2 \text{ m}$ | $10 \text{ رادیان}$ | $r = \frac{L}{\alpha} \Rightarrow r = \frac{20}{10} = 2$ (با فرض $\alpha=10$ و $L=20$ و $r$ مجهول) |
| $10 \text{ m}$ | $2 \text{ m}$ | $\mathbf{5 \text{ رادیان}}$ | $\alpha = \frac{10}{2} = 5$ |
| $20 \text{ cm}$ | $\mathbf{10 \text{ cm}}$ | $2 \text{ رادیان}$ | $r = \frac{L}{\alpha} = \frac{20}{2} = 10$ |
| $20 \text{ cm}$ | $2 \text{ cm}$ | $\mathbf{10 \text{ رادیان}}$ | $\alpha = \frac{20}{2} = 10$ |
**توجه**: به دلیل تناقض واحدها و اعداد داده شده در جدول اصلی (سطر $r$ و $\alpha$ با هم درهم شده‌اند و اعداد نادرست)، جدول زیر **بر اساس رابطهٔ $\alpha = \frac{L}{r}$ با فرض یکسان بودن واحدها** تکمیل شده است:
| $L$ | $500 \text{ cm}$ | $\mathbf{5 \text{ m}}$ | $300 \text{ cm}$ | $\mathbf{0.75 \text{ m}}$ | $\mathbf{9 \text{ m}}$ | $50 \text{ m}$ | $\mathbf{20 \text{ m}}$ | $10 \text{ m}$ | $\mathbf{20 \text{ cm}}$ | $20 \text{ cm}$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $r$ | $5 \text{ m} (500 \text{ cm})$ | $5 \text{ m}$ | $1 \text{ m} (100 \text{ cm})$ | $0.5 \text{ m}$ | $\mathbf{3 \text{ m}}$ | $\mathbf{5 \text{ m}}$ | $\mathbf{2 \text{ m}}$ | $2 \text{ m}$ | $2 \text{ cm}$ | $2 \text{ m} (200 \text{ cm})$ |
| $\alpha$ | $\mathbf{1 \text{ رادیان}}$ | $1 \text{ رادیان}$ | $\mathbf{3 \text{ رادیان}}$ | $1.5 \text{ رادیان}$ | $3 \text{ رادیان}$ | $10 \text{ رادیان}$ | $10 \text{ رادیان}$ | $5 \text{ رادیان}$ | $10 \text{ رادیان}$ | $0.1 \text{ رادیان}$ |
