حل تمرین صفحه 8 ریاضی هفتم

برای مقایسه اندازه قطر خورشید و زمین، از راهبرد **ساده‌سازی مسئله** از طریق **تقریب زدن** اعداد استفاده می‌کنیم. ☀️🌍 ۱. **ساده کردن اعداد:** - قطر خورشید را به نزدیک‌ترین صد هزار گرد می‌کنیم: $۱۳۹۲۵۳۰ \approx ۱,۴۰۰,۰۰۰$ کیلومتر - قطر زمین را به نزدیک‌ترین هزار گرد می‌کنیم: $۱۲۷۵۶.۶ \approx ۱۳,۰۰۰$ کیلومتر ۲. **خلاصه مسئله ساده شده:** «قطر خورشید با اندازه تقریبی $۱,۴۰۰,۰۰۰$ کیلومتر، چند برابر قطر زمین با اندازه تقریبی $۱۳,۰۰۰$ کیلومتر است؟» ۳. **محاسبه و پاسخ:** برای یافتن پاسخ، عدد تقریبی قطر خورشید را بر عدد تقریبی قطر زمین تقسیم می‌کنیم: $$\frac{۱,۴۰۰,۰۰۰}{۱۳,۰۰۰} = \frac{۱۴۰۰}{۱۳} \approx ۱۰۷.۷$$ بنابراین، قطر خورشید تقریباً **۱۰۸ برابر** قطر زمین است.

برای حل این مسئله، از راهبرد **حل مسئله ساده‌تر و الگویابی** استفاده می‌کنیم. به جای محاسبه کل عبارت، ابتدا حاصل جمع چند جمله اول را به دست می‌آوریم تا الگو را کشف کنیم. - **مرحله اول:** $$\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$ - **مرحله دوم:** $$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$ - **مرحله سوم:** $$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{3}{4} + \frac{1}{8} = \frac{6}{8} + \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$$ - **مرحله چهارم:** $$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} = \frac{7}{8} + \frac{1}{16} = \frac{14}{16} + \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$$ **الگو و رابطه کشف شده:** با دقت در جواب‌ها ($$\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{7}{8}, \frac{15}{16}, ...$$) متوجه می‌شویم که در هر مرحله: ۱. **مخرج** کسر حاصل، برابر با **مخرج آخرین کسر** در صورت سؤال است. ۲. **صورت** کسر حاصل، **یک واحد کمتر** از مخرج آن است. **پاسخ مسئله اصلی:** حالا با استفاده از این الگو، می‌توانیم پاسخ مسئله اصلی را بدون محاسبه مستقیم پیدا کنیم. - آخرین کسر در عبارت $\frac{1}{1024}$ است. - طبق الگو، مخرج پاسخ ما $۱۰۲۴$ خواهد بود. - صورت پاسخ، یک واحد کمتر از مخرج است: $۱۰۲۴ - ۱ = ۱۰۲۳$. بنابراین، حاصل کل عبارت برابر است با: $$\frac{۱۰۲۳}{۱۰۲۴}$$

برای پیدا کردن تعداد پاره‌خط‌ها، از راهبرد **الگویابی** با شروع از تعداد نقاط کمتر استفاده می‌کنیم. 🟣 - **برای ۲ نقطه**: ۱ پاره‌خط می‌توان رسم کرد. - **برای ۳ نقطه**: ۳ پاره‌خط می‌توان رسم کرد. ($۱+۲=۳$) - **برای ۴ نقطه**: ۶ پاره‌خط می‌توان رسم کرد. ($۱+۲+۳=۶$) - **برای ۵ نقطه**: ۱۰ پاره‌خط می‌توان رسم کرد. ($۱+۲+۳+۴=۱۰$) **الگوی کشف شده:** تعداد پاره‌خط‌هایی که می‌توان با $n$ نقطه رسم کرد، برابر با مجموع اعداد طبیعی از $۱$ تا $n-۱$ است. این الگو را می‌توان با فرمول زیر نیز نشان داد: $$\text{تعداد پاره‌خط‌ها} = \frac{n \times (n-۱)}{۲}$$ **محاسبه برای ۱۰ نقطه:** حالا از الگو یا فرمول برای ۱۰ نقطه ($n=۱۰$) استفاده می‌کنیم: - **با استفاده از جمع**: $$۱+۲+۳+۴+۵+۶+۷+۸+۹ = ۴۵$$ - **با استفاده از فرمول**: $$\frac{۱۰ \times (۱۰-۱)}{۲} = \frac{۱۰ \times ۹}{۲} = \frac{۹۰}{۲} = ۴۵$$ بنابراین، با وصل کردن ۱۰ نقطه به یکدیگر، **۴۵** پاره‌خط به وجود می‌آید.